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@joyphys 2015-08-25T08:17:46.000000Z 字数 9426 阅读 4383

第8讲:哈密顿力学和时间平移不变性

Blog 物理理论最低基础


酒吧的伙计边喝饮料边读报,这是莱尼和乔治进来了。“酒保,你在读什么呢?”
伙计抬头看了下莱尼,说:“报上引用爱因斯坦的话:‘精神错乱就是一遍又一遍地重复作同一件事,而期待会有不同的结果。 ’你如何理解这句话?”
莱尼想了想,说:“就像我来这里,每次都点辛辣的食物,结果得了胃病?”
酒保笑了:“就是这意思。你都开始懂爱因斯坦了。”

时间平移对称性

你可能想知道能量守恒与对称性是不是有关系。确实有关系,但是又与我们在第7讲中讲的又不太一样。第7讲中所有对称性的例子都与坐标qi平移有关。比如,平移对称性是将所有质点的笛卡尔坐标都同时平移相同的量,系统不发生任何变化。与能量守恒相关的对称性不是坐标平移,而是时间平移。

想象一个封闭系统的实验,不受任何外界影响。实验在t0时刻开始,从一定初始条件开始演化,过一定时间后,看看得到的结果。然后晚些时候,重复实验,保持初始条件不变,持续时间不变,唯一不同的是起始时刻,推迟到t0+Δt。你会猜想到实验结果应该会完全一样,时间平移量Δt不会带来任何变化。对于具有这样性质的系统,我们称其具有时间平移不变性。

不是所有系统都具有时间平移不变性。比如,我们生活在一个一直在膨胀的宇宙里。宇宙的膨胀效应在通常的实验条件下通常是可以忽略的,但是如果实验足够精确的话,晚一会儿做的实验和前面做的实验,结果会有细微差别。

下面我们说一个更接近现实的例子。考虑一个在磁场中运动的带电粒子。如果磁场是恒磁场,粒子运动是时间平移不变的。但是如果产生磁场的电流慢慢增大,粒子如果在同样的初始条件但在不同的时刻开始运动,我们就会得到不同的结果。粒子的运动就不是时间平移不变的。

时间平移对称性的是否存在如何体现在拉格朗日力学里?答案很简单,看拉格朗日量是否显含时间,说得清楚一点,看拉格朗日量的值随时间而变是否仅仅是通过坐标和速度的变化。如果是,则拉格朗日量隐含时间,如果否,则拉格朗日量显含时间。显含时间意思是拉格朗日量的函数形式里直接就有时间。比如谐振子的拉格朗日量:

L=12(mx˙2+kx2)

如果mk不随时间改变,上述拉格朗日量就是时间平移不变的。

如果弹簧常数k因为某种原因随时间变化,比如在一个有变化磁场的环境里,变化的磁场对弹簧里的原子有作用,这种作用会改变弹簧常数。在这样的情况,拉格朗日量为

L=12[mx˙2+k(t)x2]

这个拉格朗日量就是显含时间的。一般的拉格朗日量可写为
L=L(qi,q˙i,t)(1)

拉格朗日量的时间依赖性是源于体系的控制参数随时间的变化。

由此,我们可以给出时间平移对称性的数学判据:拉格朗日量不显含时间,则系统是时间平移不变的。

能量守恒

现在我们考虑拉格朗日量(方程(1))的值如何随着系统演化而变化。拉格朗日量L的时间依赖性有三个来源。第一和第二个来源是坐标q和速度q˙的时间依赖性。如果时间时间依赖性的来源仅此而已,则有

dLdt=i(Lqiq˙i+Lq˙iq¨i)

如果拉格朗日量表达式里就显含时间,拉格朗日量对时间的微分就多出一项:

dLdt=i(Lqiq˙i+Lq˙iq¨i)+Lt(2)

我们逐一看看方程(2)中各项。由欧拉-拉格朗日方程,方程(2)求和号中第一项可写为:

Lqiq˙i=p˙iq˙i

第二项变为
Lq˙iq¨i=piq¨i

以上各项再带入方程(2),得:
dLdt=i(p˙iq˙i+piq¨i)+Lt

上式中的求和项可以简化,得如下恒等式:

i(p˙iq˙i+piq¨i)=ddtipiq˙i

于是,得
dLdt=ddtipiq˙i+Lt(3)

由上式可注意到,即使拉格朗日量L不显含时间,拉格朗日量也有时间依赖性,即通过第一项 ddtipiq˙i 随时间变化。也就是说,拉格朗日量不守恒。

观察方程(3),可以看到一些有意思的东西。我们定义一个新的量H

ipiq˙iL=H(4)

则方程(3)可变为如下简单的形式:

dHdt=Lt(5)

得到方程(5)的步骤有点复杂,但是这个结果很简单。只有当拉格朗日量显含时间的时候,H才随时间变化。更有趣的事情,如果系统是时间平移不变的,则量H守恒。

H叫做哈密顿量,你可能已经猜到,它很重要,因为它是系统的能量,当然还有其他的原因。更重要的是,哈密顿量是力学一个新的形式理论——哈密顿力学的核心。眼下,我们还是从一个简单的例子,理解一下哈密顿量的意义。考虑势场中运动的一个质点,其拉格朗日量为:

L=12mx˙2V(x)(6)

正则动量就是通常的动量:

p=mx˙(7)

将方程(6)(7)带入方程(4),得哈密顿量:

H=(mx˙)x˙12mx˙2+V(x)=mx˙212mx˙2+V(x)=12mx˙2+V(x)

可见,H正是能量,动能加上势能。

对于一般情况,拉格朗日量是动能减去势能,哈密顿量为:

H=pq˙T+V=T+V

有些系统的拉格朗日量会比较复杂,不能很明显的写为TV。对于这样的情况,可能无法清楚地分出动能和势能。但不管怎样,构建哈密顿量的规则不变。系统的能量的一般定义是:
能量等于哈密顿量。
并且,如果拉格朗日量不显含时间,能量H守恒。

如果拉格朗日量显含时间,根据方程(5),哈密顿量不守恒。能量不守恒,会怎么样呢?我们通过一个例子来说明一下。一个带电粒子,带有单位电量的电荷,在一个平板电容器之间运动,其实就是在一个匀强电场 ϵ 中运动。(这里我们用 ϵ 表示电场,而不是用通常的符号E,是为了避免与能量的符号混淆。)现在你不需要管电场是什么,你只需要知道的是,电容器产生一个势能 ϵx。拉格朗日量为:

L=12mx˙2ϵx

只要电场是恒定的,能量就是守恒的。但是,如果电容器正在充电,那么 ϵ 就是逐渐增大的,此时拉格朗日量就是显含时间的:
L=12mx˙2ϵ(t)x

这种情况下,带电粒子的能量就不守恒了,能量的变化率为:
dHdt=dϵdtx

增加的能量来自哪里呢?答案是来自给电容器充电的电池。这里不讲细节,只讲重点,如果系统只包括电容器中间的那个带电粒子,系统的能量不守恒,因为这只是包括电容器和电池在内的一个更大的系统的一部分,电容器和电池也是有能量的。

我们考虑下这整个实验,包括电池、电容器和带电粒子。最开始,电容器不带电,粒子静止在电容器极板间某处。某个时刻,接通电路,电流流向电容器,带电粒子感受到一个随时间变化的电场。实验最后的结果,电容器带上电荷,带电粒子运动起来。

再过一个小时后我们再做整个实验会怎么样呢?当然完全一样。换言之,整个系统是时间平移不变的,所以把电池、电容器和带电粒子看做一个系统,能量是守恒的。

但是,在很多问题里,把系统分成各个部分来研究会非常方便。在这样的情况下,如果系统里除你的研究对象之外的部分随时间变化,那么你的研究对象的能量就不守恒。

相空间和哈密顿方程

哈密顿量不仅仅是能量,还具有更深层的意义:哈密顿量是经典力学的全新的理论形式的基础,在量子力学里,它会更重要。

在拉格朗日力学里,我们关注的是系统的构型空间轨迹,轨迹用坐标q(t)描述。运动方程是二阶微分方程,所以只知道初始坐标是不够的,还需要知道初始速度。

哈密顿力学关注的是相空间。在哈密顿力学里,坐标qi和速度pi地位完全一样,qi和速度pi构成的空间即是相空间。系统的运动由相空间中的轨迹描述,数学上讲,由函数集合qi(t)pi(t)来描述。所以,相空间的维数是构型空间维数的2倍。

维数增加一倍有什么好处?答案是,运动方程变成一阶微分方程,通俗点说,只要知道相空间中的初始点,就可以确定系统的未来。

构建哈密顿力学的第一步是消除所有的q˙,代之以p。对于通常的笛卡尔坐标系里的质点,动量和速度说的基本是一件事情,只差了个因子质量。我们以沿直线运动的质点为例来说明如何构建哈密顿力学。我们有这样两个方程:

p=mx˙H=12mx˙2+V(x)(8)

速度用p/m替换,哈密顿量就变成px的函数:

H=p22m+V(x)

Hx的偏导数为dVdx,正是负的力,因此运动方程(F=ma)为如下形式

p˙=Hx(9)

前面已经提到,在哈密顿力学里,坐标和动量地位完全一样,由此,你可能会猜到还有一个与方程(9)类似的方程,只是把px换一下位置。几乎如此,只是差那么一点点。正确的方程是:

x˙=Hp(10)

你可以由方程(8)验证一下。

现在我们就得到了运动方程,简洁对称,只是不是一个方程,而是两个一阶微分方程

p˙=Hxx˙=Hp(11)

以上就是直线运动的质点的哈密顿方程。我们现在推导一般系统的哈密顿方程。先从哈密顿量开始:

H=H(qi,pi)

类比方程(11),就有

p˙i=Hqiq˙i=Hpi(12)

在相空间的每一个维度上,都对应一个一阶微分方程。

我们说一下该方程组与第一章的关系。本书第一章描述了决定论性定律如何确定未来。方程(12)就可以确定系统的未来:如果你知道系统的哈密顿量,以及任意时刻的所有坐标和动量,哈密顿方程就能告诉你下个瞬时的所有坐标和动量。如此进行下去,你就能确定相空间的轨迹。

谐振子的哈密顿力学

谐振子是物理里面最重要的简单系统。某自由度偏离平衡位置之后,然后在平衡位置附近振动,各种各样的体系都有这样的振动,所有这样的振动都可以用谐振子描述。我们考虑一个自由度q,势能V(q)有一个极小值点,不失一般性,我们假设极小值点在q=0处。极小值点附近的势能可用二次函数来近似:

V(q)=V(0)+cq2(13)

其中V(0)c都为常数。没有q的一次项,是因为导数dVdq在极小值点必须等于0。我们也可以略去V(0)这一项,因为势能加上一个常数项对系统没有任何影响。

方程(13)并不具有一般性,V可以含有q的高阶项,如q3q4等。只要系统偏移q=0处的程度非常小,这些高阶项都可以忽略。这可适用于各种系统:弦、摆、声波、电磁波,等等。

谐振子的拉格朗日量可写成如下特殊形式:

L=12ωq˙2+ω2q2(14)

这个拉格朗日量只含一个常数 ω

练习1:从拉格朗日量mx˙22kx22出发,证明做变量替换q=(km)1/4x,可得如方程(14)形式的拉格朗日量。写出kmω之间的关系。
练习2:方程(14)所对应的哈密顿量。

方程(14)所对应的哈密顿量具有非常简单的形式:

H=ω2(p2+q2)(15)

要得到这么简单的哈密顿量,我们需要把x变成q,这就是练习1所做的事情。

哈密顿力学的一大特征是qp是对称的,而二者在谐振子的哈密顿量里几乎完全对称,仅有的不对称来自方程(12)中的负号。将方程(15)带入方程(12),得

p˙=ωqq˙=ωp(16)

我们把哈密顿力学得到的这两个方程与拉格朗日力学得到的欧拉-拉格朗日方程做下比较。由方程(14)可得欧拉-拉格朗日方程:

q¨=ω2q(17)

首先,欧拉-拉格朗日方程只有一个,而哈密顿方程有两个。第二,欧拉-拉格朗日方程是二阶的,而哈密顿方程是一阶的。两个一阶的哈密顿方程与一个二阶欧拉-拉格朗日方程是等价的。方程(16)中的的第二个方程对时间在求一次导数,得:

q¨=ωp˙

再由方程(16)中的第一个方程,把上式中的 p˙ 换成ωq,我们就得到方程(17),欧拉-拉格朗日方程。

两种理论形式,哪个更好?看你的感觉了。但是先别忙着下结论,等学完相对论和量子力学,拉格朗日量和哈密顿量的意义才会变得完全清晰。

我们再回到方程(16)。我们习惯于在构型空间思考问题。谐振子系统沿着某个轴往复运动。谐振子系统是我们慢慢习惯相空间思考问题的一个很好的起点。谐振子的相空间是二维的。容易看出,谐振子的相空间轨迹是以原点为圆心的同心圆。道理很简单,回到哈密顿量表达式,方程(15),哈密顿量,也就是能量,是守恒的,q2+p2是与时间无关的常数。即到相空间原点的距离是不变的,相点沿着半径固定的圆移动,并且角速度恒定为ω。更有意思的是,所有轨道对应的角速度都相等,与谐振子的能量无关。把相点的圆周运动投影到横坐标q轴上,如图1所示,不出所料,相点沿q轴做往复运动,这正是振动的特点。但是,相空间二维的圆周运动才是振动的全面描述。把轨迹投影到纵坐标p轴,可以看出,动量也在振动。


图1. 谐振子的相空间轨迹

一般情况下,系统的相空间轨迹会比谐振子的相空间轨迹更复杂,对称程度也更低。但是相空间的点位于等能线上这一结论是普适的。我们后面会讨论相空间轨迹更一般的性质。

导出哈密顿方程

下面我们给出哈密顿方程的一般性推导。拉格朗日量是坐标和速度的函数:

L=L({q},{q˙})

哈密顿量为
H=i(piq˙i)L

哈密顿量变分:
δH=i(piδq˙i+q˙iδpi)δL=i(piδq˙i+q˙iδpiLqiδqiLq˙iδq˙i)

因为pi=Lq˙i,上式中第一项和最后一项正好抵消,于是上式变为:

δH=i(q˙iδpiLqiδqi)

根据变分规则,

δH({q},{p})=i(Hpiδpi+Hqiδqi)

上面两式对比,可得:

Hpi=q˙iHqi=Lqi(18)

还差最后一步,欧拉-拉格朗日方程写成如下形式:

Lqi=p˙i

带入方程(18),就得到一般形式的哈密顿方程:

Hpi=q˙iHqi=p˙i(19)

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