@joyphys
2015-09-05T18:42:14.000000Z
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物理理论最低基础
莱尼喜欢看河,尤其喜欢看漂浮物顺流而下。他猜想漂浮物如何穿过礁石,如何陷入漩涡。但是河流整体,水量,流切变,河的分流和汇聚,这是莱尼所看不到的。
在经典力学里,注视一个特别的初始条件,再随之在相空间走过特定轨迹,这是很自然的事情。但是还有一个更大的图像,突出强调轨迹的总集合。这个更大的图像可以直观显示所有可能的起点和所有可能的路径。不要再拿着铅笔点住相空间一点,然后沿着一条路径画线,而是做点更有雄心的事情。想象一下,你有无穷多支铅笔,用它们在相空间均匀地点点(均匀在这里的意思是在
每个点都按照哈密顿方程运动:
这样,流体连绵不断地流过相空间。
谐振子是说明相空间流体的好例子。在第8讲,我们看到每个点做匀速圆周运动。(注意:我们谈的是相空间,不是坐标空间,在坐标空间,谐振子做的是一维往复运动。)整个流体做刚性运动,绕着相空间原点做匀速圆周运动。
现在我们回到一般情况。如果坐标数目是
对于每个
图1 谐振子等能面
对于谐振子,相空间是二维的,能量面是圆,圆的方程为:
对于一般的力学系统,能量面非常复杂,无法画出来,但是原理是一样的:能量面一层一层填充相空间,相空间流体流动过程中保持各点一直呆在初始时刻所在的能量面内。
我们暂停一下,回顾一下第1讲的内容。在第1讲,我们讨论过硬币、色子,还有运动定律最基本的思想。我们描述这些定律用的方法,是用箭头连着表示系统状态的点,表示系统演化的过程和方向。我们还解释过,有些定律是允许的,有些定律是禁止的,可允许的定律是可逆的。可允许的定律有什么特点?答案是每个点都有一个箭头指向自己,也有一个箭头从自己指向别的点。如果有一点,指向自己的箭头多于从自己指向外部的箭头,则相应的定律是不可逆的。同样地,从自己指向外部的箭头多于指向自己的箭头,相应的定律也是不可逆的。这两种情况都是禁止的。现在我们分析一下相空间流体流动的可逆性。
我们考虑通常空间里流体流动的几个简单的例子。暂时先忘掉相空间,只考虑通常的三维空间(坐标轴分别为
图2. 速度场
我们还可以用速度的分量描述速度场:
我们还假设流体是不可压缩的,即一定量的流体总占据同样的体积,也即流体密度(单位体积内的分子数)是均匀的并且是保持不变的。考虑如下小立方体盒子:
不可压缩性意味着每个这么大盒子里的流体粒子数都是一定的,并且单位时间净流入盒子的流体也是0(流入流出的流体正好相等)。单位时间从面
如果
同样的道理也适用于
括号里面的各导数有一个专门的名字:矢量场
散度之名恰如其分,表示流体的分子外散而流,增大流体占据的体积。如果流体是不可压缩的,流体的体积不变,因此散度必须为0。
理解不可压缩性的一个方法是,认为流体的各分子,或是流体中的各点,都是不可压缩的,不能压缩进更小的体积,也不可以凭空消失或出现。发挥点想象力,你可以看出不卡压缩性与可逆性非常类似。在第1讲的各例子中,箭头也定义一种流。在某种意义上说,至少在可逆情况下,这种流也是不可压缩的。现在可以提出一个问题,相空间中的流动是不可压缩的吗?答案是,是的,如果系统满足哈密顿方程的话。有一个定理表述了这种不可压缩性,这个定理就是刘维尔定理。
我们再回到相空间中的流动,考虑相空间中每点流速的分量。相空间流体不是三维的,而是
方程
如果流体是不可压缩的,那么方程
相空间中任意一点的速度的分量为:
而且,
二阶导数,如
我们前面提到,流体不可压缩意味着每个小盒子的净流入量为0,这也是流体的不可压缩性的定义。这个定义还有个等价的表述。想象某个时刻一定体积的流体,这团流体可以为任何形状。追踪流体中每一点的运动,过一段时间后,这团流体就会呈现出其他形状,但是只要流体是不可压缩的,这团流体的体积就保持不变,在任意时刻的体积都与初始时刻的体积相同。因此刘维尔定理可重新表述为:任意一团相空间流体的体积都不随时间变化。
比如谐振子,相空间流体绕着原点做圆周运动,很明显任意一团相空间流体的体积保持不变,甚至它们连形状也不变。但是形状不变是谐振子的特殊性质。现在我们看另一个例子。考虑如下形式的哈密顿量:
你很可能没见过这个哈密顿量,但是这个哈密顿量完全可以存在的。我们先写出运动方程:
刘维尔定理是与第1讲中的可逆性最接近的类比。在量子力学里,刘维尔定理被代之以幺正性。
19世纪法国数学家思考力学的时候发明了这些极其漂亮的数学形式,他们在想些什么呢?(哈密顿例外,他是爱尔兰人)他们是如何得到作用量原理、拉格朗日方程、哈密顿量、刘维尔定理?他们是在解物理题吗?他们只是为了玩出漂亮的方程吗?还是只是为了设计新的物理原理?我认为这些因素都有一点,但在各个方面都取得了极大成功。但是这些极大的成功直到20世纪量子力学被发现之后才变得清晰。看起来好像数代人之前的数学家机具洞察力,他们发明了百年之后量子概念的等价概念。
还没完。还有一个力学形式理论,即泊松括号,以法国数学家泊松的名字命名,这好像也是个超越时代的理论。下面我们介绍泊松括号。考虑某个关于
我们现在细致考察
我也不知道泊松如何发明了他的括号,我怀疑是方程
泊松再写方程
方程
注意到在这个形式理论中,哈密顿方程组的泊松括号形式的这两个方程是同号的,
法国人对优雅的迷恋回报丰厚。泊松括号成为量子力学里最基本的量:对易子。