@joyphys
2015-07-06T11:00:51.000000Z
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物理理论最低基础
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“乔治,我们现在在哪里?”
乔治拿出地图,展开在莱尼面前:“我们在这里,坐标36.60709N, –121.618652W.”
莱尼问:“嘛是坐标?”
要定量描述点,我们需要一个坐标系。建立坐标系第一步是在空间选取一个点作为原点,一般要求选的原点,能使方程尽可能简单。比如,研究太阳系,原点选在太阳上,理论方程方程会很简单,如果选在其他地方,问题就会变得很复杂。严格来讲,原点可以任意选取,但是一旦选定,就不能变动了。
下一步就是选三个互相垂直的坐标轴。这三个坐标轴的位置也可以是任意的,只要互相垂直就行。一般让坐标轴交于原点。这三个轴常称为
建坐标系是为了描述空间某一点,可以把这一点称为
假想在
如果研究运动,我们还需要记录时间。时间也需要定个原点,即零时刻的时候。零时刻也可以任意选取,比如选取宇宙大爆炸发生的时刻、耶稣降生的时刻,或一个实验开始的时刻。但是一旦选定,就不能再改动了。
下一步要定义时间的方向。一般的选法是,走向未来为时间的正方向,回到过去为时间的负方向。反过来定义当然也可以,但是我们不这么做。
最后,我们需要定出时间的单位。物理学家习惯采用秒作为时间的单位,但小时、纳秒、年也可能会用到。选定好时间原点和单位,我们就可以用一个数
在经典力学里,我们对时间有两个隐含的假设。第一个假设是,时间均匀流逝,比如1秒的时间间隔,永远不会变。比如,重物从比萨斜塔落到地面,伽利略的时间和我们的时间是一样的。过去的1秒与现在的1秒是完全一样的。
第二个假设是,不同地点的时间可以比较。不同地方的钟可以校准之后同步运行。有了这些假设,4个坐标——
给定一个函数,可以在坐标系里画点,比如函数
我们用曲线把这些点连起来,填充上点之间的空间,如图5所示。
这样我们就看到了函数的样子。
练习1:用图形计算器或数学软件如Mathematica画出以下函数: |
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(注:练习1中第4个方程,原文为
如果你没学过三角,或学过但忘的差不多了,可以看看这一部分。
物理学里会时时处处遇到三角。所以你需要熟悉三角里的概念、符号、方法。
在物理学里,我们一般不用度来度量角,而是用弧度,radian,
三角函数是用直角来定义的。图7为直角三角形,斜边长为
三角函数正弦、余弦、正切定义为三个边的比值,分别定义为下:
可以把直角三角形画在一个圆里,圆心为笛卡尔坐标系原点,如图11所示。
把原点与圆形上一点连起来,这就是直角三角形的斜边,圆形上这一点的水平和竖直分量分别是底边和高,这一点有两个坐标
两角
还有一个最重要的关系:
矢量,也称向量,是空间中同时具有大小和方向的对象。比如位移就是一个矢量。如果知道一个物体从某个特殊的点开始运动,知道物体运动多远还不能确定物体的运动终点,还需要知道位移的方向才行。用带箭头的线段可以直观地表示矢量,如图12。
矢量的符号表示是字母上加箭头,比如位移的符号可表示为
下面介绍矢量的相关运算。
可以用通常的实数乘以矢量。在矢量运算里,这种实数有个专门的名字,标量。用正数乘以矢量,会使矢量的大小增大为相应的倍数。用负数乘以矢量,使矢量的方向反向。比如
矢量也可以相加。向量
矢量也可以做减法。把一个矢量乘上-1,新矢量与另外一个矢量相加,所得矢量就是原来两个矢量的差矢量。
练习2:思考并写出矢量的减法法则。 |
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矢量可以写成分量形式。先有三个坐标轴
方程
标量
和矢量的三个分量分别为两个分量对应的分量的和,
矢量可以相乘吗?可以,但不止一种乘法。一种叫叉乘,我们这里先不讲。另一种叫点乘。我们下面说说点乘。两个矢量的点乘的结果是一个数,也即标量。两个矢量
点乘的分量形式为
练习3:证明一个矢量的大小满足 |
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练习4:两个矢量 |
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如果两个矢量的点积为0,称两个矢量正交,即互相垂直。
练习5:以下4个矢量,(1, 1, 1) (2, -1, 3) (3, 1, 0) (-3, 0, 2 ),找出正交的矢量对 |
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练习6:你能解释两个正交的矢量的点积为什么为0吗? |
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