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@joyphys 2015-08-05T13:53:26.000000Z 字数 4575 阅读 3345

插播数学3:偏微分

物理理论最低基础 Blog


“看那边,莱尼,那边的山和山谷美吗?”
“美,乔治。等我们有钱了我们能去那里吗?可以吗?”
乔治眯起眼睛:“你说的地方具体是哪里啊,莱尼?”
莱尼用手一指:“就是那里,乔治,那个小山谷。”

偏导数

多变量函数微积分是单变量函数微积分的推广。考虑一个多变量函数V(x,y,z),自变量为xyz,这里它们不一定代表是坐标。另外,自变量数目可以多于或少于3个。

多变量微分的核心概念是偏导数。我们考虑一点(x,y,z)的邻域,固定yz,看看Vx的变化率。我们想象yz不变,那函数相当于只剩一个变量x了,那么V的导数就是

dVdx=limΔx0ΔVΔx(1)

其中ΔV定义为

ΔV=V(x+Δx,y,z)V(x,y,z)(2)

注意到,ΔV定义中,只有x有变化,yz都没有变化。

方程(1)和(2)定义的导数称为Vx的偏导数,记为

Vx

如果我们想强调yz不变,也可记为
(Vx)y,z

同样地,我们可以定义函数对另外任何一个变量的偏导数,如对y的偏导数为:

Vy=limΔy0ΔVΔy

Vy的偏导也可记为如下简化符号:
Vy=yV

多级导数也可定义。把Vx看成xyz的函数,也可以对其求微分。函数Vx二阶偏导为:

2Vx2=x(Vx)=x,xV

还可定义混合偏导。比如,yVx的偏导为

2Vxy=x(Vy)=x,yV

混合偏导一个有趣并且很重要的性质是混合偏导与求导顺序无关,即

2Vxy=2Vyx

|练习1:求以下二元函数的一阶和二阶偏导(包括混合偏导):F(x,y)=x2+y2F(x,y)=sin(xy)F(x,y)=xye(x2+y2)F(x,y)=excosy|
|-----------|
(注:原文函数有误:x2+y2=sin(xy)xyex2+y2

驻点和函数极值

考虑一个一元函数F(y),如图1所示。

图1. 函数F(y)的图

在曲线上一些地方,y往任何方向变化,都会使函数值F增大,这些地方称为极小值点,见图2中的标记,

图2. 极小值点

在每个局域极小点往y的任何方向走,你都会高于点F(y)。每个点都处在一处洼地的底部。曲线上最低的极小值点称为最小值点

函数在某点取极小值的一个条件是函数在此点对独立变量的导数为0。这是个必要条件,但不是充分条件。满足这一条件的点为驻点:

dF(y)dy=0

要判断是不是极小值点还需要看看驻点的性质,也即对函数求二阶导数。如果二阶导数大于0,

d2F(y)dy2>0

那么附近各点都高于驻点,此驻点为函数的极小值点。

如果函数在驻点的二阶导数小于0,

d2F(y)dy2<0

那么附近各点都低于驻点,此驻点为函数的极大值点。见图3中标注各点。


图3. 极大值点

如果函数在驻点的二阶导数等于0,

d2F(y)dy2=0

函数的导数在驻点改变符号,此驻点称为函数的拐点

图4为拐点示例。


图4. 拐点

高维驻点

多变量函数也有极小值点、极大值点和驻点。想象一片山地,海拔高度是纬度和经度的函数,把函数记为A(x,y),山峰和山谷分别为极大值点和极小值点。这些点还不是山区仅有的局部平坦的地方,还有两山之间的鞍点。见图5所示。


图5. 多变量函数

在山峰处,你不管往哪个方向走,你都会往低处走。在山谷处正相反,你不管往哪个方向走,你都会往高处走。但是这些地方都是平的。

还有些地方是平的。两山之间有些地方称为山鞍,鞍点也是平的。在鞍点你沿某个轴的任意方向,你的高度会上升,但是如果你沿垂直轴的任意方向走,你的高度又下降。

沿着x轴把山切开,并使刀片通过A的一个极小值点,见图6所示。


图6. 沿x轴切割函数

很明显,在极小值点Ax的导数为0,即

Ax=0

同样地,我们也可以沿y轴把山切开,于是也有

Ay=0

即在极小值点,或在驻点,函数对每个变量的一阶导数都为0。如果A的方向空间多于两个,在驻点A对所有方向xi的导数都为0:

Axi=0(3)

以上方程有个简记法。当一点x变化一点点,函数值的改变量为

δA=iAxiδxi

方程(3)等价于

δA=0(4)

假设我们已经找到满足以上条件的一点,我们如何知道这一点是对应极小值点还是极大值点,抑或鞍点?我们需要看二阶导数。但是二阶导数有很多。比如对于二维的情况,我们有以下二阶导数:2Ax22Ay22Axy2Ayx,最后两个结果相等。

这些二阶导数写在一起,组成一个矩阵,这个矩阵叫做海森矩阵

H=2Ax22Ay22Axy2Ayx

关于矩阵的重要的量是行列式。海森矩阵的行列式为

DetH=2Ax22Ay22Axy2Ayx

迹为
TrH=2Ax2+2Ay2

这里不具体解释矩阵、行列式和迹这些概念。你知道有这些东西还有以下规则就可以了:
如果海森矩阵的行列式和迹都是正的,那么对应的驻点为极小值点。
如果海森矩阵的行列式是正的,迹都是负的,那么对应的驻点为极大值点。
如果海森矩阵的行列式是正的,不管迹符号为何,对应的驻点为鞍点。

这里只写出了两变量函数的具体规则。对于更多变量的函数,规则的形式更为复杂。下面我们具体算一下两变量函数。比如,考虑函数

F(x,y)=sinx+siny

求导,
Fx=cosx

Fy=cosy

由于cosπ2=0,显然点(π/2,π/2)是一个驻点。

要知道这个点的类型,还得计算二阶导数

2Fx2=sinx

2Fy2=siny

2Fxy=2Fyx=0

由于sinπ2=1,计算海森矩阵的行列式和迹,行列式和迹都大于0,所以点(π/2,π/2)是个极小值点。

练习2:考虑以下各点(π/2,π/2)(π/2,π/2)(π/2,π/2),判断这些点是不是以下函数F(x,y)=sinx+sinyF(x,y)=cosx的驻点,并判断驻点的类型。
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