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@joyphys 2015-11-02T13:20:41.000000Z 字数 5823 阅读 11394

电磁学讲义10:磁感应强度 毕奥-萨伐尔定律

电磁学讲义 Blog


磁感应强度

为了描述电场的分布,我们引入电场强度矢量E,同样,为了描述磁场的分布,我们也需要引入一个新的矢量,这个矢量就是磁感应强度B

两个电流元的磁相互作用力满足安培定律

dF12=kI2dl2×(I1dl1×r12^)r212=μ04πI2dl2×(I1dl1×r12^)r212

在国际单位制中,μ04π=107N/A2

元电流之间的安培力的表达式分成两项:

dF12=I2dl2×dB

dB=μ04πI1dl1×r12^r212

把电流元I2dl2看做试探电流元,则dB则为电流元I1dl1的磁场在电流元I2dl2所在位置处的磁感应强度。

整个回路1对电流元I2dl2的作用力为

dF2==μ04πL1I2dl2×(I1dl1×r12^)r212=μ04πI2dl2×L1I1dl1×r12^r212I2dl2×B

上式中

B=μ04πL1I1dl1×r12^r212

即为闭合回路L1的磁场在电流元I2dl2所在位置处的磁感应强度。

一个电流元在磁场中的受力

dF2=I2dl2×B

这里的B可以是电流产生的磁场,也可以是磁铁产生的磁场,或其他任何来源产生的磁场。

力的大小为

dF2=I2dl2Bsinθ

其中,θ为试探电流元方向与磁场方向的夹角。当两个方向平行或反平行时,θ=0,πdF2=0,当二者垂直时,试探电流元受力最大,dF2=I2dl2B,这样我们就可以确定空间任意一点磁感应强度的大小:

B=(dF2)maxI2dl2

磁场的方向由矢量叉乘的右手定则确定。

磁感应强度的单位为N/(Am),这个单位有个专门的名称特斯拉,用T表示,

1T=1N/(Am)

另外一个广泛使用的单位是高斯,用Gs表示,

1T=1Gs

1Gs=104T

磁感应线可用来可视化磁场。

毕奥-萨伐尔定律

电流元和闭合载流回路产生在空间任意一点产生的磁场

dB=μ04πIdl×r^r2

B=μ04πLIdl×r^r2

此两式正是毕奥-萨伐尔定律

课堂练习:判断图中1-8各点的磁感应强度的方向和大小。


判断图中1-8各点的磁感应强度的方向和大小

下面求解几种电流的磁场分布。

载流直导线的磁场

考虑一段直导线在场点P 处的磁感应强度。
赵凯华《电磁学》
载流直导线的磁场

根据毕奥-萨伐尔定律,任意电流元Idl产生的元磁场dB的方向一致(在点P 处的磁感应强度方向垂直纸面向里),因此总磁感应强度B的大小为dB的代数和,

B=dB=μ04πA2A1Idlsinθr2

P点到导线距离为r0,由图可知,

l=r0cotθ

r=r0sinθ

所以

B=μ0I4πA2A1dlsinθr2=μ0I4πr0θ2θ1sinθdθ=μ0I4πr0(cosθ1cosθ2)

若导线为无限长(r0l),θ1=0θ1=π,则

B=μ0I2πr0

即长载流导线周围的磁感应强度的大小与场点到导线的距离成反比。

长直导线周围的磁感应线是以导线为中心的同心圆,磁感应强度的方向由右手定则确定。

MIT 8.02
无限长载流导线的磁感应线

载流圆线圈轴线上的磁场

设圆线圈中心为O,半径为R,其上任意一点A处电流元在轴线上一点P处产生的磁场为dB,线圈上与A点对称的点A在点P处产生的磁场为dBdBdB合成后沿OP方向,因此我们只需要计算电流元沿轴线方向的分量。对于整个圆线圈来说,在轴线上的磁场的总磁感应强度的方向沿轴线方向。

B==dBcosα=μ0I4πdlr2cosα=μ0I4πr20sin2αcosαdlμ0IR2r20sin2αcosα

sinα=r0r20+R2

cosα=Rr20+R2

于是

B=μ0IR2r20sin2αcosα=μ0IR22(r20+R2)3/2

在圆心处,r0=0

B=μ0I2R

无限远处,r0R

B=μ0IR22r3/20

亥姆霍兹线圈的磁场

载流螺线管轴线上的磁场

螺线管是很细的导线密绕而成,因此可以把螺线管近似看成导体圆筒上套着许许多多圆电流。


通电螺线管可近似看成并排圆电流

沿轴线单位长度的圆电流的个数即为螺线管单位长度的匝数\iotan,电流强度为I。设螺线管半径为R,总长度为L,取圆筒中点为原点O,圆筒轴线为x轴,。长dl内的电流在场点P处产生的磁感应强度为

dB=μ0nIR22[(xl)2+R2]3/2dl

xl=Rcotβ

于是有

dl=Rsin2βdβ

磁感应强度

B==dB=L/2L/2μ0nIR22[(xl)2+R2]3/2dlμ0nI2β2β1sinβdβ=μ0nI2(cosβ1cosβ2)

其中,

cosβ1=cosβ2=x+L/2R2+(x+L/2)2L/2xR2+(L/2x)2

对于无限长螺线管

B=μ0nI

对于半无限长螺线管,端点处轴线上磁感应强度

B=μ0nI2

参考资料

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