【数学有门道，“化”字不得了】
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难点释疑：如何找规律（1）？

门道

1.全品P7第7题

给出一次排列的一列数：$2,-4,8,-16,32,\cdots$
（1）按此规律第$6$个数是什么？
（2）按此规律第$n$个数是什么？

2.规律探索题的想法

第一，建立这些数与序号：$1,2,3,4，\cdots，n，\cdots$的关系；
第二，小型化。把前几个（如前5个）数的规律弄清楚；
第三，把前几个数进一步分解成若干个小问题；
第四，如果是图形问题，即可先查出前几个数，也可结合图形的特点探索。

3.分析全品P7第7题

1）看前5个数的绝对值：$2,4,8,16,32$

它们依次是前一个数的2倍：$2,2^2,2^3,2^4,2^5$，也就是$2^1,2^2,2^3,2^4,2^5$。第6个是什么？第$n$个是什么？容易想吗？

2）看前5个数的符号：$+,-,+,-,+$

第6个应该是$-$，第$n$个是$+$?，还是$-$?如何表达？
用$(-1)^{n}$，还是$(-1)^{n+1}$呢？
取$n=1,2,3$验证可知。

3）把上述两个因素结合起来，第6个数是$(-1)^{6+1} 2^6$，即$-64$。

第$n$个数是$(-1)^{n+1} 2^n$。

基本的几列数（顺着想简单，慢慢地熟悉逆着想）
1）$n:1,2,3,4,5,\cdots$
2）$2n:2,4,6,,8,10,\cdots$
3）$2n-1:1,3,5,7,9,\cdots$
4）$\frac1{n}:1,\frac1 2,\frac1 3,\frac1 4,\frac1 5,\cdots$
5）$2^n:2,4,8,16,32,\cdots$
6）$n^2:1,4,9,16,25,\cdots$
7）$(-1)^{n}:-1,1,-1,1,-1,\cdots$
……

4.举一个图形的例子

例1 全品P45第10题

想法一：图形可看成由3条射线（分枝）组成，每条射线上有几个点？别重了！

图1：$3\times 2-2$ 【为什么$-2$?】
图2：$3\times 3-2$
图3：$3\times 4-2$
图4：$3\times 5-2$
……
图$n$：$3\times {(n+1)}-2$【不会化简，暂时先这样了】

想法二：图形可看成由3条射线（分枝）组成，每条射线上有几个点？别漏了！

图1：$3\times 1+1$ 【为什么$+1$?】
图2：$3\times 2+1$
图3：$3\times 3+1$
图4：$3\times 4+1$
……
图$n$：$3\times {n}+1$

想法三：先查出前4个图形的五角星的个数：$4,7,10,13$.

这4个数是如何与图形的序号$1,2,3,4$对应的？
第一步，看四个数的彼此关系，后数比前数都大3.
第1个：$4$
第2个：$7=4+3$
第3个：$10=4+3+3=4+3\times 2$
第4个：$13=4+3+3+3=4+3\times 3$
第二步，再调理
第1个：$4=4+3\times 0$
第2个：$7=4+3\times 1$
第3个：$10=4+3\times 2$
第4个：$13=4+3\times 3$
……
因此，第$n$个图形中五角星的个数是$4+3\times {(n-1)}$.

$\bigstar$希望你能从中获得启发，祝你学习进步。

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