七下曲阜2014-2015期末第24题等的门道

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第8题

原题

如下图是一块带有圆形空洞和方形空洞的小木板，则下列物体中既可以堵住圆形空洞，又可以堵住方形空洞的是（ ）

解析

“堵住”，不能理解为“盖住”。从上面看圆柱，是一个圆，可以堵住圆形空洞，而正面或左面看圆柱，都为一个长方形，可以堵住方形的空洞，故圆柱是最佳选择.选（B）.

第15题

原题

为了求$1+2+2^2+2^3+\cdots+2^{100}$的值，可令$S=1+2+2^2+2^3+\cdots+2^{100}$，则$2S=2+2^2+2^3+2^4+\cdots+2^{100}+2^{101}$，因此$2S-S=2^{101}-1,$所以$S=2^{101}-1,$即$1+2+2^2+2^3+\cdots+2^{100}=2^{101}-1.$
仿照以上推理，计算$1+3+3^2+3^3+\cdots+3^{2014}$的值是____.

解析

先理解已知的例子，再模仿.
令$S=1+3+3^2+3^3+\cdots+3^{2014}$，
则$3S=3+3^2+3^3+\cdots+3^{2014}+3^{2015}$，
因此$3S-S=3^{2015}-1,$
所以$S=\frac{3^{2015}-1}2,$
即$1+3+3^2+3^3+\cdots+3^{2014}=\frac{3^{2015}-1}2.$

第24题

原题

如图,已知数轴上点A表示的数为6，B是数轴上一点，且AB=10。动点P从点A出发,以每秒6个单位长度的速度沿数轴向左匀速运动，设运动时间为$t(t>0)$秒。
(1)写出数轴上点B表示的数_____，点P表示的数_____ (用含t的代数式表示)。
(2)动点R从点B出发，以每秒4个单位长度的速度沿数轴向左匀速运动,若点P、R同时出发，问点P运动多少秒时追上点R?
(3)若M为AP的中点，N为PB的中点。点P在运动的过程中，线段MN的长度是否发生变化?若变化，请说明理由；若不变，请求出线段MN的长。

解析

$(1)OB=AB-OA=10-6=4,\\ \therefore 点B表示的数为-4;\\ AP=6t,OP=OA-AP=6-6t,\\ \therefore 点P表示的数为6-6t.$
(2)设点P运动$t$秒时追上点R,
依题意，得
$6t-2t=10,\qquad\text{点P比点Q多跑10个单位路程}$
【或：$6-6t=-4-2t,\qquad\text{点P与Q重合}$】
解得 $t=5.$
答：点P运动5秒时点R.
(3)分两种情况：

①当点P在点A、B两点之间运动时，
$MN=MP+NP\\ =\frac12 AP+\frac12 BP\\ =\frac12 (AP+BP)\\ =\frac12 AB=5.$

②当点P运动到点B的左侧时，
$MN=MP-NP\\ =\frac12 AP-\frac12 BP\\ =\frac12 (AP-BP)\\ =\frac12 AB=5.$
综上所述，线段MN的长度不发生变化,其值为5.