BJia20170303答案

BJia

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自测时间：2017年3月3日19：00-20：00，满分：100分。
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1. （本题10分）如图，在$\angle 1,\angle 2,\angle 3,\angle 4,\angle 5$中，
   
   同位角有：$\angle 1与\angle 4;\angle 2与\angle 5.$
   内错角有：$\angle 1与\angle 5;\angle 2与\angle 4.$
   同旁内角有：$\angle 1与\angle 2;\angle 1与\angle 3;\angle 2与\angle 3.$
   评分：每错（或少）一个扣2分
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2. （本题10分）如图，$AB//CD,AD//BC,BC\perp BD,\angle BDC=35^\circ.$
   求$\angle BCD,\angle BAD,\angle ABC.$（用"三角形的内角和等于180度"求解的不得分）
   
   解：$\because BC\perp BD,$
   $\therefore \angle CBD=90^\circ（垂直的定义）.\\ \because AB//CD,\angle BDC=35^\circ,\\ \therefore \angle ABD=\angle BDC\\ =35^\circ（两直线平行，内错角相等）,\\ \therefore \angle ABC=\angle ABD+\angle CBD\\ =35^\circ+90^\circ=125^\circ.\\ \because AD//BC,\\ \therefore \angle BAD=180^\circ-\angle ABC\\ =55^\circ（两直线平行，同旁内角互补）.\\ 同理,\angle BCD=55^\circ.$
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3. （本题10分）如图，尽可能地写出能判定$AD//BC$的条件及依据来.
   
   解：1）以$AB$为截线，
   $\angle ABC+\angle BAD=180^\circ$（同旁内角互补，两直线平行）
   2）以$BD$为截线，
   $\angle ADB=\angle CBD$（内错角相等，两直线平行）
   以$CD$为截线，
   $\angle ADE=\angle BCE$（同位角相等，两直线平行）；
   $\angle BCD+\angle ADC=180^\circ$（同旁内角互补，两直线平行）
   评分：每错（或少）一个扣3分
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4. （本题10分）如图，$D,E,F$分别是$\Delta ABC$的边$AB,AC,BC$上的点，且$DE//BC,EF//AB.$
   求证$\angle DEF=\angle B.$
   
   证明：$\because DE//BC,$
   $\therefore \angle DEF=\angle EFC（内错角相等，两直线平行）.\\ \because EF//AB,\\ \therefore \angle B=\angle EFC（同位角相等，两直线平行）,\\ \therefore \angle DEF=\angle B.$
   另法：：$\because DE//BC,$
   $\therefore \angle B+\angle BDE=180^\circ（同旁内角互补，两直线平行）.\\ \because EF//AB,\\ \therefore \angle BDE+\angle DEF=180^\circ（同旁内角互补，两直线平行）,\\ \therefore \angle DEF=\angle B（同角的补角相等）.$
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5. （本题10分）如图，$AB//DE,\angle D=40^\circ,CF平分\angle ACD,CG\perp CF.$求$\angle DCG.$
   
   解：$\because AB//DE,\angle D=40^\circ,$
   $\therefore \angle ACD=180^\circ-\angle D=140^\circ（两直线平行，同旁内角互补）.\\ \because CF平分\angle ACD,\\ \therefore \angle FCD=\frac12 \angle ACD=70^\circ（角平分线的定义）.\\ \because CG\perp CF,\\ \therefore \angle FCG=90^\circ（垂直的定义）,\\ \therefore \angle DCG=\angle FCG-\angle FCD=20^\circ.$
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6. （本题20分）如图（左），已知$\angle APC=\angle A+\angle C$，求证$AB//CD.$
   思路：过$P$作$MN//AB.$
   请分别按图（1）和图（2）书写证明过程.
   
   解法一：过$P$作射线$MP//AB.$
   $\because MP//AB,\\ \therefore \angle MPA=\angle A（两直线平行，内错角相等）.\\ \because \angle APC=\angle A+\angle C,\angle APC=\angle MPA+\angle MPC,\\ \therefore \angle MPC=\angle C,\\ \therefore MP//CD（内错角相等，两直线平行）,\\ \therefore AB//CD（如果两条直线都平行于第三条直线，那么这两条直线互相平行）.$
   解法二：过$P$作射线$PN//AB.$
   $\because PN//AB,\\ \therefore \angle NPA=180^\circ-\angle A（两直线平行，同旁内角互补）.\\ \because \angle APC=\angle A+\angle C,\\ \therefore \angle NPC=360^\circ-\angle NPA-\angle APC\\ =360^\circ-(180^\circ-\angle A)-(\angle A+\angle C) =180^\circ-\angle C,\\ \therefore MP//CD（同旁内角互补，两直线平行）,\\ \therefore AB//CD（如果两条直线都平行于第三条直线，那么这两条直线互相平行）.$
   评分：每个解法10分。
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7. （本题10分）如图$,\angle 1=\angle 2,\angle C=\angle D.~\angle A,\angle F$相等吗？试证明.
   
   解：$\angle A=\angle F.$
   证明如下：
   $\because \angle 2=\angle AHC（对顶角相等）,\\ \angle 1=\angle 2,\\ \therefore \angle 1=\angle AHC,\\ \therefore BD//CE（同位角相等，两直线平行）,\\ \therefore \angle C=\angle B.\\ 又\because \angle C=\angle D,\\ \therefore \angle B=\angle D,\\ \therefore DF//AC（内错角相等，两直线平行）,\\ \therefore \angle A=\angle F（两直线平行，内错角相等）.$
   评分：用$\angle DGF$转化也可。
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8. （附加题，本题10分）把一张长方形纸片$ABCD$沿$EF$折叠，四边形$ABFE$变为四边形$A'B'FE$，$B'F$与$AD$的交点为$G$，若$\angle DGF=100^\circ$，求$\angle AEF.$
   
   解：$\because 四边形ABCD是长方形,\\ \therefore AD//BC,\\ \therefore \angle BFG=\angle DGF=100^\circ（两直线平行，内错角相等）.\\ 由折叠过程可知，\angle BFE=\angle EFG,\\ \therefore \angle BFE=\frac12 \angle BFG=50^\circ,\\ \therefore \angle AEF=180^\circ-\angle BFE=130^\circ（两直线平行，同旁内角互补）.$