20161125刘熠涵的问题

门道

【原问题】
18.（本题8分）将一个三位数的个位5，换到首位得一个新三位数。这两个三位数的差一定被9整除吗？请说明理由.
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【刘熠涵的解答】

【错在哪？】
通过具体的例子容易明白。
例如原数是$215$，那么新数是$521.$
按你所设,原数前两位是$x$，
$x=21$
$\frac{x}{10}=\frac{21}{10}=2.1$
显然不对.
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【如何修正？】
设原数前两位是$x$，它表示的是$10x;$
而新数的后两位确实是$x.$
按你的想法--
原三位数是$(10x+5)$，新三位数是$(500+x).$
以下过程从略
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【完善后的表述】
设新三位数的后两位数是$x,~$即新三位数是$500+x;$
则原三位数的前两位数表示$10x$，即原三位数是$10x+5.$
以下过程从略
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【参考解法】
解法一：设这个三位数是$(10x+5)$，则新三位数是$(500+x).$
$(10x+5)-(500+x)~~~~~~\text{----5分}$
$=9x-495\\ =9(x-55)$
故这两个三位数的差一定被9整除.----8分
$\color{red}{评注：\\ 1)没写成9(x-55)的形式扣2分；}$
解法二：设这个三位数是$(100a+10b+5)$，
则新三位数是$(500+10a+b).$
$(100a+10b+5)-(500+10a+b)~~~~~~\text{----5分}$
$=90a+9b-495\\ =9(10a+b-55)$
故这两个三位数的差一定被9整除.----8分
$\color{red}{评注：\\ 1)没写成9(10a+b-55)的形式扣2分；}$
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