七下曲阜2015-2016期末第24题的自然解法

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【第24题】

实验室里，水平桌面上有甲、乙、丙三个圆柱形容器（容器足够高），底面半径之比为1：2：1，用两个相同的管子在容器的5cm高度处连通（即管子底端离容器底5cm），现三个容器中，只有甲中有水，水位高1cm，如图所示. 若每分钟同时向乙和丙注入相同量的水，开始注水1分钟，乙的水位上升$\frac53$cm，求开始注入多少分钟的水量后，甲与乙的水位高度之差是$0.5$cm？

【门道】

1）画画示意图，想清楚可能的情形

2）用体积化解不同容器间有关量的换算，不妨设小圆柱的底面积是1，则大圆柱的底面积是4，因此每分钟向乙和丙注入的水量为$\frac53 \times 4=\frac{10}3.$

【解答】

不妨设小圆柱的底面积是1，则大圆柱的底面积是4，因此每分钟向乙和丙注入的水量为$\frac53 \times 4=\frac{10}3.$
设开始注入$x$分钟的水量后，甲与乙的水位高度之差是$0.5$cm.
甲与乙的水位高度之差$0.5$cm时有三种情况：
（1）乙的水位低于甲的水位时，乙的水量来自自身，
依题意，得

$$\begin{align*} (1-0.5)\times 4&=\frac{10}3 x,\\ x&=\frac35. \end{align*}$$
（2）甲的水位低于乙的水位，甲的水位不变时，
若乙的水量来自自身，则
$$\begin{align*} (1+0.5)\times 4&=\frac{10}3 x,\\ x&=\frac95. \end{align*}$$

此时，设丙的水高为$y$cm，则

$$\begin{align*} y\times 1&=\frac{10}3 \times \frac95,\\ y&=6>5. \end{align*}$$
这说明乙的水量不全来自自身，因此
$$\begin{align*} (1+0.5)\times 4+5\times 1&=2\times \frac{10}3 x,\\ x&=\frac{33}{20}. \end{align*}$$
（3）甲的水位低于乙的水位，乙的水位到达管子底端，甲的水位上升时，
这时丙的水量流入乙，乙与丙的水量流入甲，
$$\begin{align*} (5-0.5-1)\times 1+5\times 4+5\times 1&=2\times \frac{10}3 x,\\ x&=\frac{171}{40}. \end{align*}$$
综上所述，开始注入$\frac35或\frac{33}{20}或\frac{171}{40}$分钟的水量后，甲与乙的水位高度之差是$0.5$cm.