A+训练题
每周一份题，每份5~8题。
每周五发布题签，次周周一（含）前上传解答照片，次周周二发布答案。
仅供平时认真、学有余力的同学选做。

AJia20161104答案

2016年11月04日

1.求值：$2(a^2-ab)-4(2a^2-3ab)-2[a^2-(2a^2-ab+b^2)]$，
其中$a=\frac12,b=-2$.

原式$=...=-4a^2+8ab+2b^2.$
当$a=\frac12,b=-2$时，
原式$=-4\times (\frac12)^2+8\times \frac12\times (-2)+2\times (-2)^2=...=-1.$

2.关于$x,y$的多项式$mx^2-2xy+y$与$3x^2+2nxy+3y$的差中不含二次项，求$m^2+2mn+n^2$的值.

$mx^2-2xy+y-(3x^2+2nxy+3y)$
$=...=(m-3)x^2-2(1+n)xy-2y.$
因为这两式的差中不含二次项，
所以$m-3=0,1+n=0,$
即$m=3,n=-1.$
∴ $m^2+2mn+n^2$
$=3^2+2\times 3\times (-1)+(-1)^2=4.$

3.有一个多项式为$a^8-a^7b+a^6b^2-a^5b^3+a^4b^4+...$，按此规律写下去，第6项是什么？最后一项是第几项，是什么？

分析已知项的次数、系数和$b$的指数规律.
第6项是$-a^3b^5;$
最后一项是第$9$项,是$b^8.$

4.（1）某班$n$个小学同学聚会，见面后互相握手，共握手多少次？
（2）某班$n$个小学同学聚会，见面后互送个人照片，共有照片多少张？

$(1)\frac12 n(n-1);(2)n(n-1).$

5.下图是某同学在沙滩上用石子摆成的小房子：

观察图形的变化规律，写出第$n$个小房子用了多少块石子.

方法一，从图形的特征看，正方形及以上部分（^型？）
第1个图形：$1+2^2$
第2个图形：$3+3^2$
第3个图形：$5+4^2$
第4个图形：$7+5^2$
......
第$n$个图形：$2n-1+(n+1)^2.$
方法二，从图形的特征看，正方形和三角形（有公共边）
第1个图形：$3+2^2-2$
第2个图形：$6+3^2-3$
第3个图形：$9+4^2-4$
第4个图形：$12+5^2-5$
......
第$n$个图形：$3n+(n+1)^2-(n+1)=2n-1+(n+1)^2.$
方法三，从图形的特征看，将每个图形分成左（折线）、中（下部几列）、右（折线）【去掉最高点】
第1个图形：$3+2\times0+3-1$
第2个图形：$5+3\times1+5-1$
第3个图形：$7+4\times2+7-1$
第4个图形：$9+5\times3+9-1$
......
第$n$个图形：$(2n+1)+(n+1)(n-1)+(2n+1)-1=4n+1+(n+1)(n-1).$
方法四，如果从具体的数来想呢？$5,12,21,32,45,...$
你能得出第$n$个数吗？这就难多了！
$5,5+7,5+7+9,5+7+9+11,5+7+9+11+13,...$
第$n$个是
$\underbrace{5+7+9+11+13+...+(2n+3)}_{n~个}=?$
你会求吗？

6.（1）若$a^2-2a=1$，求$2a^2-4a+5$的值；
（2）若$3a^2-4a+5=9$，求$a^2-\frac43a+15$的值；
（3）若$a^2-ab=15,ab-b^2=-6$，求$3a^2-ab-2b^2$的值.

（1）$2a^2-4a+5=2(a^2-2a)+5=2\times 1+5=7.$
（2）由$3a^2-4a+5=9$ 得$3a^2-4a=4.$
$a^2-\frac43a+15\\=\frac13(3a^2-4a)+15\\=\frac13 \times 4+15=16\frac13.$
（3）由$a^2-ab-15=0,ab-b^2+6=0$得
$a^2-ab=15,ab-b^2=-6.$
$3a^2-ab-2b^2\\=3a^2-3ab+3ab-ab-2b^2\\=3(a^2-ab)+2ab-2b^2\\=3(a^2-ab)+2(ab-b^2)\\=3\times 15+2\times (-6)=33.$

7.小星和小月玩猜数游戏，小星说：“你随便选定三个一位数，按这样的步骤去算：①把第一个数乘以2；②加上5；③乘以5；④加上第二个数；⑤乘以10；⑥加上第三个数。只要你告诉我最后的得数，我就能知道你所想的三个一位数。”小月不相信。但试了几次，小星都猜对了，你知道小星是怎样猜的吗？如果小月告诉小星的数是484，你知道小月所想的三个一位数是什么吗？

设三个一位数分别是$a,b,c,$ 则
$10[5(2a+5)+b]+c=...=100a+10b+c+250.$
如果小月告诉小星的数是484，则$484-250=234,$
那么小月所想的三个一位数是$2,3,4.$

8.一个三位数，它的百位上的数比十位上的数的2倍大1，个位上的数比十位上的数的3倍小1．如果把这个三位数的百位上的数和个位上的数对调，那么得到的三位数比原来的三位数大99，求这个三位数.

设这个三位数的十位上的数为$x$，则它的百位上的数为$(2x+1)$,个位上的数为$3x-1.$
原三位数是$100(2x+1)+10x+3x-1=213x+99;$
新三位数是$100(3x-1)+10x+2x+1=312x-99.$
依题意，得方程$312x-99=(213x+99)+99,$
解得$x=3.$
因此,原三位数是$213x+99=213\times 3+99=738.$

9.小明在做数学题时，发现下面有趣的结果：
$3-2=1$
$8+7-6-5=4$
$15+14+13-12-11-10=9$
$24+23+22+21-20-19-18-17=16$
……
根据以上规律，（1）第100行左起第1个数是多少？
（2）第$101$行等号右边的数是多少？

（1）第1行左起第1个数是$3,$
第2行左起第1个数是$3+5,$
第3行左起第1个数是$3+5+7,$
第4行左起第1个数是$3+5+7+9,$
……
第100行左起第1个数是
$3+5+7+9+...+(2\times 100+1)$
$=3+5+7+9+...+201$
$=204\times 50$
$=10200.$
（2）第$101$行等号右边的数是$10201.$

10.$2x+|3-x|+|x-4|+5$的值可能恒为常数吗？若可能，求出$x$满足的条件及此时常数的值；若不可能，请说明理由.

思考：这个式子的值“恒为常数”的意思是与$x$无关！
$2x+|3-x|+|x-4|+5$在某些条件下化为 $2x+3-x+4-x+5=12$了！
此时$3-x$是非负数，且$x-4$是非正数，
即$x\le3,且x\le4,$
因此，只要$x\le3$，则$2x+|3-x|+|x-4|+5$的值恒为常数12.

AJia