A+训练题
每周一份题，每份约10题。每周五发布题签；周日12：00开放上传解答照片的通道（日志下方的”评论“）至次周周一；次周周一17：00发布答案。
仅供平时认真、学有余力的同学选做；每题都应写出思考或解答的过程；一次不会做，放一放次日再想想或与他人交流，尽可能全部解答，不要着急上传解答。

AJia20161118答案

星期五，2016年11月18日

1. 已知关于$x$的方程$ax+b=c$的解为$x=2$，求$|c-2a-b-6|$的值.
   解：$2a+b=c，c-2a-b=0.$
   用整体思想，
   $|c-2a-b-6|=|-6|=6.$
2. 若$x=-8$是方程$3x-8=\frac x4+m$的解，求$m^2-4m$的值.
   解：想：先用”方程的解“的概念；$m$是联系已知与未知的桥梁。
   $3\times (-8)-8=\frac {-8}4+m,$
   ∴ $m=-30.$
   ∴ $m^2-4m=(-30)^2-4\times (-30)=900+120=1020.$
3. 解方程
   $(1)~2x-18=0;(2)~2|y|-18=0;(3)~2z^2-18=0.$
   解：（1）$x=9;$
   （2）用整体思想，把$|y|$看成一个整体，如$x,$
   $|y|=9,y=\pm9.$
   （3）用整体思想，把$z^2$看成一个整体，如$x,$
   $z^2=9,z=\pm3.$
   $\color{red}{【请仔细品味这三个小题的联系】}$
4. 解方程
   $(1)~|a|=4;(2)~∣2x-6∣=4;(3)~∣2x-6∣=|x|$
   解：（1）$a=\pm4;$
   （2）想：用整体思想，把$2x-6$看成一个整体，比如$a,$
   $2x-6=\pm4.$
   解方程$2x-6=4$，得$x=5;$
   解方程$2x-6=-4$，得$x=1.$
   因此，原方程的解是$x=5,或x=1.$
   （3）想：$2x-6$与$x$，要么相等，要么互为相反数，
   即 $2x-6=\pm x.$
   解方程$2x-6=x$，得$x=6;$
   解方程$2x-6=-x$，得$x=2.$
   因此，原方程的解是$x=6,或x=2.$
   $\color{red}{【请仔细品味这三个小题的联系】}$
5. 解方程
   $\frac13 (x+1)+\frac14 (x-2)+\frac15 (x+3)=4-\frac16 (x+4).$
   答案：$x=\frac{174}{57}$ 应化简为$x=\frac{58}{19}.$

6. 解答下面的问题：
   （1）当$x=1$时，多项式$ax^5+bx^3+cx-1$的值为$5$，那么当$x=-1$时，这个多项式的值是多少？
   （2）已知$(3x+2)^3=ax^3+bx^2+cx+d$对于$x$的一切值都成立，①求$d$的值；②求$a+b+c$的值.
   解：（1）已知即 $a+b+c-1=5，\therefore a+b+c=6.$
   当$x=-1$时，
   $原式=-a-b-c-1=-(a+b+c)-1\color{red}{【整体思想】}\\ =-6-1=-7.$
   （2）深刻理解已知：对于$x$的一切值都成立。
   ①取$x=0$，得$2^3=d$，即$d=8.$
   ②取$x=1$，得$5^3=a+b+c+d$，即$a+b+c+d=125.$
   所以$a+b+c=125-d=125-8=117.$

7. $8^{2017}+11$的个位数字是几?
   解：小型化，从简单想起。
   $8+11$的个位数字是$9,$
   $8^2+11$的个位数字是$5,$
   $8^3+11$的个位数字是$3,$
   $8^4+11$的个位数字是$7,$
   $8^5+11$的个位数字是$9,$
   ……
   $2017\div 4=504...1$
   $8^{2017}+11$的个位数字是$9.$

8. 一个六位数左端的数字是2，如果把左端的数字移到右端，那么新得的六位数等于原数的3倍，求新六位数.
   想：找个简单的数想想——
   $2\underline{13}$何意？
   $213=2\times 100+13;$
   $\underline{13}2$何意？
   $132=13\times 10+2.$
   解：设后面的五位组成的数是$x$,
   则原六位数是$2000000+x$，新六位数是$10x+2.$
   依题意，得 $10x+2=3(2000000+x).$
   解得 $x=85714.$
   所以新六位数是857142.
   另解：设原六位数第2-6位上的数字依次为$a,b,c,d,e.$
   则原六位数是$100000\times 2+10000a+1000b+100c+10d+e,$
   新六位数是$100000a+10000b+1000c+100d+10e+2.$
   依题意，得
   $100000a+10000b+1000c+100d+10e+2\\ =3(100000\times 2+10000a+1000b+100c+10d+e).$
   即
   $10(10000a+1000b+100c+10d+e)+2\\ =600000+3(10000a+1000b+100c+10d+e).$
   $\color{red}{【想什么呢？整体思想】}$
   $7(10000a+1000b+100c+10d+e)=699998,$
   $10000a+1000b+100c+10d+e=85714,$
   所以新六位数是
   $10(10000a+1000b+100c+10d+e)+2\\ =857140+2=857142.$
9. 已知关于$x$的方程 $3[x-2(x-\frac a3)]=4x$ 和 $\frac{3x+a}4-\frac{1-5x}8=1$ 有相同的解，求这个相同的解.
   解：解方程 $3[x-2(x-\frac a3)]=4x$，
   得 $x=\frac{2a}7;$
   解方程 $\frac{3x+a}4-\frac{1-5x}8=1$，
   得 $x=\frac{9-2a}{11}.$
   解方程 $\frac{2a}7=\frac{9-2a}{11}$，
   得 $a=\frac 74.$
   所以这个相同的解为
   $x=\frac{2a}7=\frac{2}7\times \frac 74=\frac12.$
10. 如图，ABCD是400米的环形跑道，现在把跑道分成相等的4段，即两条直道和两条弯道长度都相同．甲、乙二人沿着环形跑道ABCD按逆时针方向匀速跑步，已知甲、乙的速度分别为8米/秒和5米/秒，并且同时从A点出发．
    (1)经过多长时间两人第1次相遇，此时甲在环形跑道ABCD的哪一条直道或弯道上？
    (2)经过多长时间两人第2次相遇，此时甲在环形跑道ABCD的哪一条直道或弯道上？
    (3)如果两人跑步的目标都为1万米，经过多长时间两人最后一次相遇，此时甲在环形跑道ABCD的哪一条直道或弯道上？乙还需跑多少米才能达到目标？
    
    解：（1）设经过$x$秒两人第1次相遇，则$8x-5x=400,x=\frac{400}3.$
    此时，甲的路程为$8x=1066\frac 23=400\times 2+266\frac 23$，甲在直道CD上.
    （2）由（1），经过$\frac{800}3$两人第2次相遇. 此时，甲的路程为$8x=2133\frac 13=400\times 5+133\frac 13$，甲在弯道BC上.
    （3）$10000\div 8=1250$秒;
    $1250\div \frac{400}3=9\frac38.$
    这说明甲在达到目标前与乙相遇9次.
    $9\times \frac{400}3=1200.$
    第9次相遇时，甲、乙经过了$1200$秒，
    甲的路程是$8x=9600$米，此时甲在点A处。
    乙还需跑$10000-5\times 1200=4000$米.

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