A+训练题

每周一份题，每份约10题。每周五发布题签；周日12：00开放上传解答照片的通道（日志下方的”评论“）至次周周一；次周周一17：00发布答案。
仅供平时认真、学有余力的同学选做；每题都应写出思考或解答的过程；一次不会做，放一放次日再想想或与他人交流，尽可能全部解答，不要着急上传解答。
A+计划是正常教学之外的奉献。需要我购买软件，编拟习题，在线交流，付出很多时间，请珍惜此机会。

AJia20161111答案

2016年11月11日
收集了一些同学（有你的吗？）的思考，很值得借鉴.

$\color{red}{向贡献自己的思想的同学致敬！}$

1. 已知$A=x^2-2x+3,B=-2x^2+3x-1,A-B+C=0$，求C .
   $解：C=B-A \\=(-2x^2+3x-1)-(x^2-2x+3) \\=... \\=-3x^2+5x-4$

2. 将一张长方形的纸对折，可得到一条折痕，继续对折，对折时每次折痕与上次的折痕保持平行，连续对折三次后,可以得到7条折痕，那么对折四次可以得到15条折痕，如果对折$n$次，可以得到多少条折痕？
   解：方法一，从与折后小长方形的个数来想
   第1次对折后，折痕条数：$1=2-1$
   第2次对折后，折痕条数：$3=2^2-1$
   第3次对折后，折痕条数：$7=2^3-1$
   ......
   第$n$次对折后，折痕条数：$2^n-1$
   方法二
   第1次对折后，折痕条数：$1$
   第2次对折后，折痕条数：$1+2$
   第3次对折后，折痕条数：$1+2+2^2$
   ......
   第$n$次对折后，折痕条数：$1+2+2^2+2^3+...+2^{n-1}$
   如何化简$1+2+2^2+2^3+...+2^{n-1}?$
   还是要从特殊归纳
   第1次对折后，折痕条数：$1$
   第2次对折后，折痕条数：$1+2=3=4-1=2^2-1$
   第3次对折后，折痕条数：$1+2+2^2=3+4=7=8-1=2^3-1$
   第4次对折后，折痕条数：$1+2+2^2+2^3=7+8=15=16-1=2^6-1$
   再回首，第1次对折后，折痕条数：$1=2-1=2^1-1$
   因此，第$n$次对折后，折痕条数：
   $1+2+2^2+2^3+...+2^{n-1}=2^n-1.$

3. 已知$n$是自然数，多项式$x^{n+1}-2y^3-3y$是三次三项式，那么$n$可以是哪些数？
   解：$x^{n+1}$可以是多项式$x^{n+1}-2y^3-3y$的三次项、二次项、一次项、常数项，
   即$0\le n+1 \le 3,$
   $n+1=3,或2，或1，或0$
   ∴ $n=2,1,0,-1$
   但$n$是自然数，∴ $n=2,1,0.$

4. 解答下面的问题：
   （1）已知$x=1,y=-1$时，$ax+by-3=0$，那么当$x=-1,y=1$时，式子$ax+by-3$的值是多少？
   （2）当$x=-2$时，$ax^3+bx-7=5$，那么当$x=2$时，式子$ax^3+bx-7$的值是多少？
   解：（1）已知即 $a-b=3$，所求即 $-a+b-3.$
   所以 $-a+b-3=-(a-b)-3=-6;$
   （2）已知即 $-8a-b=12,$也就是 $8a+b=-12.$
   所求即 $8a+2b-7.$
   所以 $8a+2b-7=-12-7=-19.$

5. 假设有足够多的黑白围棋子,按照一定的规律排列成一行:
   $○○●●○●○○●●○●○○●●○●○○●●○●...$
   请问第2017个棋子是黑的还是白的？
   解：这部分$○○●●○●$是重复出现的，黑白分明.
   $2017\div 6=336...1$
   因此，第2017个棋子是白的.

6. 下面两个多位数1248624，6248624都是按照如下方法得到的：将第1位数字乘以2，若积为一位数，将其写在第2位；若积为两位数，则将其个位数字写在第2位. 对第2位数字再进行如上操作得到第3位数字……，后面的每一位数字都是由前一位数字进行如上操作得到的.
   当第1位数字是3时，仍按如上操作得到一个100位数，问这个100位数的所有数字之和是多少？
   解：这个100位数是$3624862486248...$
   其中的$6248$重复出现.
   $99\div 4=24...3$
   这个100位数的所有数字之和是
   $3+24\times (6+2+4+8)+(6+2+4)$
   $=3+480+12=495.$
   或解：把前4位$3624$拿出，后面96位依次是$8624$重复出现.
   $96\div 4=24$
   这个100位数的所有数字之和是
   $(3+6+2+4)+24\times (6+2+4+8)$
   $=15+480=495.$

7. 观察下列三角形数阵，求（1）第60行的最后一个数；（2）第$n$行的最后一个数.
   
   解：（1）即求前60行共有多少个数
   $1+2+3+...+60=30\times (1+61)=1830.$
   因此，第60行的最后一个数是1830.
   计算的方法是
   $1+2+3+...+60\\ =(1+60)+(2+59)+(3+58)+...+(30+31)\\ =...$
   或者
   $~~1+~~2+~~3+...+60\\ 60+59+58+...+~~1\\ =61+61+61+...+61~~【共60个】\\ =61\times 60$
   所以，$1+2+3+...+60=61\times 60\div 2=...$
   （2）类似（1）的思考，第$n$行的最后一个数是$(n+1)\cdot \frac{n}2=\frac12n(n+1).$
   第（2）题的另外想法
   考虑$n$的奇偶
   1）若$n$是偶数，
   $1+2+3+...+n\\ =(n+1)\cdot \frac{n}2~~~~【从两边向中间走，\frac{n}2个(n+1)】$
   2）若$n$是奇数，
   转化为“偶数”处理，先算前$(n-1)$（偶数）个，再加$n$.
   $1+2+3+...+(n-1)+n\\ =[1+2+3+...+(n-1)]+n\\ =[1+(n-1)]\cdot \frac{n-1}2+n\\ =\frac12 n(n-1)+n~~~~【以下当前有点难，用分配律】\\ =\frac12 n(n-1+2)\\ =\frac12 n(n+1)$
   因此，不论$n$是奇数还是偶数，都有
   

   $$1+2+3+...+n=\frac12 n(n+1)$$

8. $3^{100}$的个位数字是几？
   解：从简单的情形归纳
   $3$的个位数字是3；
   $3^2=9$的个位数字是9；
   $3^3=27$的个位数字是7；
   $3^4=81$的个位数字是1；
   $3^5=243$的个位数字是3；
   ……
   因为 $100\div 4=25...0$
   所以$3^{100}$的个位数字是1.

9. 表2是从表1中截取的一部分，则$a=?$
   
   解：$a=18.$
   怎么想到的？
   表1的第2行对应的是第1行数的2倍；
   表1的第2行对应的是第1行数的3倍；
   表1的第2行对应的是第1行数的4倍；
   ......
   据此推测，10和21分别位于表1的第5行和第7行，$a$位于第6行；
   进一步10和21分别位于表1的（左数）第2列和第3列，
   故$a=3 \times 6=18.$

10. 把面积为1的矩形分成两个面积为$\frac12$的矩形，把面积为$\frac12$的矩形等分成两个面积为$\frac14$的矩形，再把面积为$\frac14$的矩形等分成两个面积为$\frac18$的矩形，……，如此等分进行下去.
    （1）求图中的阴影部分的面积；（2）计算：$\frac12+\frac14+\frac18+\frac1{16}+...+\frac1{512}.$
    
    解析：（1）$\frac1{16}.$
    想法一，逐次等分
    $1 \times \frac12 \times \frac12 \times \frac12 \times \frac12=\frac1{16}.$
    想法二，从整体去其余已知部分
    $1-(\frac12+\frac14+\frac18+\frac1{16})=1-\frac{15}{16}=\frac1{16}.$
    （2）$\frac{511}{512}.$
    想法一，从整体去最后一部分，
    最后一部分与倒数第2部分相同，都是$\frac1{512}.$
    $∴~\frac12+\frac14+\frac18+\frac1{16}+...+\frac1{512} \\=1-\frac1{512} \\=\frac{511}{512}.$
    想法二，从特殊归纳
    $\frac12$
    $\frac12+\frac14=\frac34$
    $\frac12+\frac14+\frac18=\frac78$
    $\frac12+\frac14+\frac18+\frac1{16}=\frac{15}{16}$
    ......
    $\frac12+\frac14+\frac18+\frac1{16}+...+\frac1{512}=\frac{511}{512}.$
    更一般地，有
    

    $$\frac12+\frac14+\frac18+\frac1{16}+...+\frac1{2^n} \\=\frac{2^n-1}{2^n}.~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~$$
    想法三，想想下面的思路是什么？
    $\frac12+\frac14+\frac18+\frac1{16}+...+\frac1{512}$
    $=(1-\frac12)+(\frac12-\frac14)+(\frac14-\frac18) \\+(\frac18-\frac1{16})+...+(\frac1{256}-\frac1{512})$
    $=... \\=1-\frac1{512} \\=\frac{511}{512}.$
    想法四，逐步通分
    $\frac12+\frac14+\frac18+\frac1{16}+...+\frac1{512}$
    $=(\frac12+\frac14)+\frac18+\frac1{16}+...+\frac1{512}$
    $=\frac34+\frac18+\frac1{16}+...+\frac1{512}$
    $=(\frac34+\frac18)+\frac1{16}+...+\frac1{512}$
    $=\frac78+\frac1{16}+...+\frac1{512}$
    $=(\frac78+\frac1{16})+...+\frac1{512}$
    $=\frac{15}{16}+...+\frac1{512}$
    $=...$
    $=\frac{511}{512}.$

AJia