A+训练题
以中低档问题为主，85~89为B+，95~100为A+。
每周五发布题签；周日12：00开放上传解答照片的通道（日志下方的”评论“）至次周周一；次周周一17：00发布答案。

AJia20161209答案

不必抄题，写清题号直接答题，拍照上传。

1. 如图，$m,n$是有理数，化简：$|m|+|n|+|m+n|+|n-m|.$
   
   $解：m<0,n>0,m+n>0,n-m>0,\\ ∴~|m|+|n|+|m+n|+|n-m|\\ =-m+n+m+n+n-m\\ =3n-m.$
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2. 某储蓄所2015年储户存款为4600万元，2016年与2015年相比，定期存款增加20%，而活期存款减少25%，但总存款增加10%，问2016年定期，活期存款各是多少？（精确到万元）
   $解：设该储蓄所2015年定期存款为x万元，\\ 则活期存款为(4600-x)万元.\\ 依题意，得\\ (1+20\%)x+(1-25\%)(4600-x)=(1+10\%)\times 4600.\\ 解得~x\approx 3578,\\ (1+20\%)x=4294,\\ (1-25\%)(4600-x)=767.$
   $~$
3. 两根同样长的蜡烛，点完一根粗蜡烛要3小时，而点完一根细蜡烛要1.5小时.一天晚上停电，小芳同时点燃了这两支蜡烛看书，若干分钟后来电了，小芳将两支蜡烛同时熄灭，发现粗蜡烛的长是细蜡烛的2倍，问停电多少分钟？
   $解：设停电了x分钟,\\ 依题意，得\\ 1-\frac1{3\times 60}x=2(1-\frac1{1.5\times 60}x).\\ 解得~x=60.$
   $~$
4. 某房子基价为3520元/平方米. 楼层差价如下：

老张买了面积为90平方米的二层，若他用同样多的钱去买六层，可以买多少平方米的房子?
$解：设可以买x平方米的六层房子,\\ 依题意，得\\ (1+8\%)\times 3520\times 90=(1-10\%)\times 3520x.\\ 解得~x=108.$
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5. 某中学库存若干套桌椅，准备修理后支援贫困山区学校。现有甲、乙两木工组，甲每天修理桌椅16套，乙每天修桌椅比甲多4套，甲单独修完这些桌椅比乙单独修完多用10天，学校每天付甲组80元修理费，付乙组120元修理费。（1）该中学库存多少套桌椅？（2）在修理过程中，学校要派一名工人进行质量监督，学校负担他每天10元生活补助费，现有三种修理方案：I.由甲单独修理；II.由乙单独修理；III.甲、乙合作同时修理。你认为哪种方案省钱？为什么？
$解：(1)设该中学库存x套桌椅,\\ 依题意，得~\frac{x}{16}=\frac{x}{16+4}+10.\\ 解得~x=800.$
$(2)方案I的费用:\\ (80+10)\times \frac{800}{16}=4500;\\ 方案II的费用:\\ (120+10)\times \frac{800}{16+4}=5200;\\ 方案III的费用:\\ (80+120+10)\times \frac{800}{16+16+4}=4666\frac23.\\ 方案I省钱.$
$~$
6. 王老师购买了一套经济适用房，他家准备将地面铺上地砖，地面结构如图所示．

根据图中的数据（单位：m），解答下列问题： （1）写出用含$x,y$的代数式表示地面总面积； （2）已知客厅面积比卫生间面积多$21\text{m}^2$，且地面总面积是卫生间面积的$15$倍，铺$1\text{m}^2$地砖的平均费用为100元，求铺地砖的总费用为多少元？
$解：（1）3\times(2+2)+2y+2\times(6-3)+6x\\ =6x+2y+18;\\ (2)6x-21=2y,6x+2y+18=15\times 2y,\\ 6x=2y+21,6x=28y-18,\\ 2y+21=28y-18,\\ ∴~y=1.5,x=4.\\ ∴求铺地砖的总费用为\\ 100(6x+2y+18)\\ =...=4500元.$
7. 周末，七年级八班准备邀请所有教师14人和全班48名同学去公园举行游园活动，已知公园有两种售票方式：①成人票8元／人，学生票5元／人；②团体票统一按成人票的7折计算（50人以上可买团体票）. （1）若师生均到齐，选用哪种方式购票较合算? （2）若教师没有到齐，学生到齐，用第二种购票方式共需336元，你能算出有几位老师没到吗？
解：（1）第一种方式的费用为
$14\times 8+48\times 5=352$元；
第二种方式的费用为
$(14+48)\times 8\times 0.7=347.2$元.
因此，选用第二种方式较合算。
（2）设有$x$位老师没到,
依题意，得 $[(14-x)+48]\times 8\times 0.7=336.$
解得 $x=2.$
【另法】
设有$x$位老师到,则有$14-x$位老师没到,
依题意，得 $(x+48）\times 8\times 0.7=336.$
解得 $x=12,14-x=2.$
答：有2位教师没有到。
8. （1）探究:$n$条直线两两相交，至多有多少个交点？
方法：小型化。

用类似方法，继续探究（2）（3）
（2）如图，点$A_1,A_2,A_3,\cdots ,A_n$在线段$AB$上，问图中共有多少条线段？

图中共有线段条数：
$1+2+3+4+\cdots+(n+1)=\frac{(n+1)(n+2)}2.$
（3）如图，射线$OA_1,OA_2,OA_3,\cdots,OA_n$在$∠AOB$的内部，问图中共有多少个角？

图中共有角的个数：
$1+2+3+4+\cdots+(n+1)=\frac{(n+1)(n+2)}2.$
9. 如图，点C，D两点把线段AB分成2∶5∶3三部分，E为AB的中点，CE=6 cm，求DE和AB的长．

解法一：设线段AC，CD，DB的长分别为$2x,5x,3x$ cm，
则 $AB=AC+CD+DB=10x.$
因为为AB的中点，
所以 $AE=\frac12 AB=5x,CE=AE-AC=5x-2x=3x.$
由已知 $CE=6,$
即 $3x=6,x=2.$
$因此,DE=CD-CE=5x-6=4\text{cm},\\ AB=10x=20\text{cm}.$
解法二：由已知，点$C,E,D$分别是线段AB的第$2,5,7$个十等分点，
因此$CE=\frac{5-2}{2+5+3} AB=\frac{3}{10} AB.$
因为$CE=6$,
所以$AB=\frac{10CE}{3}=\frac{10\times 6}{3}=20\text{cm},$
$ED=\frac{7-5}{2+5+3} AB=\frac{2}{10} AB=4\text{cm}.$
10.如图，OD是∠AOB的平分线，OE是∠BOC的平分线，且∠AOC是直角，求∠DOE.

分析：为利用已知，首先应尽可能把未知角转化为$\angle AOB,\angle BOC.$
解法一，思路是$\angle DOE=\angle AOE-\angle AOD.$
由已知
$\angle DOE=\angle AOE-\angle AOD\\ =\angle AOB-\angle BOE-\angle AOD\\ =\angle AOB-\frac12 \angle BOC-\frac12 \angle AOB\\ =\frac12 \angle AOB-\frac12 \angle BOC\\ =\frac12(\angle AOB-\angle BOC)\\ =\frac12 \angle AOC\\ =\frac12 \times 90^\circ\\ =45^\circ.$
解法二，思路是$\angle DOE=\angle DOC+\angle COE.$
由已知
$\angle DOE=\angle DOC+\angle COE\\ =\angle AOC-\angle AOD+\angle COE\\ =\angle AOC-\frac12 \angle AOB+\frac12 \angle BOC\\ =\angle AOC-\frac12(\angle AOB-\angle BOC)\\ =\angle AOC-\frac12 \angle AOC\\ =\frac12 \angle AOC\\ =\frac12 \times 90^\circ\\ =45^\circ.$

解法三，思路是$\angle DOE=\angle BOD-\angle BOE.$
由已知
$\angle DOE=\angle BOD-\angle BOE\\ =\frac12 \angle AOB-\frac12 \angle BOC\\ =\frac12(\angle AOB-\angle BOC)\\ =\frac12 \angle AOC\\ =\frac12 \times 90^\circ\\ =45^\circ.$
比较以上思路，解法三最简单。为什么？简单的原因何在？
事实上，数学题的解决方法是很多的，正所谓“条条大路通罗马”；在这些众多方法中，总有一个是最简单的，也是最自然的，这也是我们追求的目标之一.

AJia