20161103刘金鹏的问题

门道

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刘金鹏，2016-11-03

问题

设$(2x-1)^5=ax^5+bx^4+cx^3+dx^2+ex+f.$
（1）求$f$的值；
（2）求$a+b+c+d+e+f$的值.

解析

本题思维难度很大。
结合所求，已知中的等式$(2x-1)^5=ax^5+bx^4+cx^3+dx^2+ex+f$ 的理解：
1）$x$是字母，而$a,b,c,d,e,f$是已知数；
2）$x$取任意数，等式都成立，如

当$x=0$时，

$$(2\times 0-1)^5=a\cdot0^5+b\cdot0^4+c\cdot0^3+d\cdot0^2+e\cdot0+f.$$
当$x=1$时，
$$(2\times 1-1)^5=a\cdot1^5+b\cdot1^4+c\cdot1^3+d\cdot1^2+e\cdot1+f.$$
当$x=-1$时，
$$[2\times (-1)-1]^5=a\cdot(-1)^5+b\cdot(-1)^4\\+c\cdot(-1)^3+d\cdot(-1)^2+e\cdot(-1)+f.$$
当$x=2$时，
$$(2\times 2-1)^5=a\cdot2^5+b\cdot2^4+c\cdot2^3+d\cdot2^2+e\cdot2+f.$$
…… ……

回到问题本身

（1）求$f$的值

取$x=0$，得

$$(2\times 0-1)^5=a\cdot0^5+b\cdot0^4+c\cdot0^3+d\cdot0^2+e\cdot0+f.$$
即 $$(-1)^5=f$$
因此，$f=-1.$

（2）求$a+b+c+d+e+f$的值

怎样才能“造出” $a+b+c+d+e+f$？
取$x=1$，得

$$(2\times 1-1)^5=a\cdot1^5+b\cdot1^4+c\cdot1^3+d\cdot1^2+e\cdot1+f.$$
即 $$1^5=a+b+c+d+e+f$$
因此，$a+b=c+d+e+f=1.$

真正理解后，可自己造出其他题来

如，

$$32a+16b+8c+4d+2e+f=?$$
再如， $$a-b+c-d+e-f=?$$