BJia20170310答案

BJia

自测时间：2017年3月3日19：00-20：00，满分：100分。
检测目的：A+选拔。周周清未熟练掌握问题再训练。
用手机阅读时，如遇显示不完整，请旋转手机横屏观看。

1. （本题10分）把命题“两个负数，绝对值大的反而小”改写为“如果...那么...”的形式.
   解：如果第一个负数的绝对值大于第二个负数的绝对值，那么第一个负数小于第二个负数。
   $~$
2. （本题10分）如图，$\Delta BDE$是由$\Delta ABC$平移得到的.
   图中相等的角有：
   一、从两个三角形的对应角想
   $\angle A=\angle DBE,\angle ACB=\angle BED,\angle ABC=\angle D.$
   二、从对应点所连线段（平行）想
   $CE//AD \to\\ \angle ABC=\angle BCE,\angle BEC=\angle DBE.$
   综合起来有5对
   $\angle A=\angle DBE,\angle ACB=\angle BED,\angle ABC=\angle D;\\ \angle ABC=\angle BCE,\angle BEC=\angle DBE.$
   相等的线段有：
   一、从两个三角形的对应边想
   $AB=BD,BC=DE,AC=BE.$
   二、从对应点所连线段（相等）想
   $AB=BD=CE.$
   综合起来有5对
   $AB=BD,BD=CE,AB=CE,BC=DE,AC=BE.$
   
   闫思远、韦笑等同学进行了深入思考，正确答案应该是11对！另6对请自己补齐。谢谢闫思远、韦笑等同学。
   $~$
3. （本题10分）如图，$OC\perp AB,OD\perp OE.$
   写出所有互余的角（不添加其他符号）
   
   $\angle AOD,\angle DOC;\angle AOD,\angle BOE;\\ \angle COE,\angle DOC;\angle COE,\angle BOE.$
   $~$
4. （本题10分）如图，写出能判定直线$a//b$的条件
   （不添加其他符号，尽可能写出所有可能的条件）
   
   若直线$c$是截线，有
   $\angle 5=\angle 3;$
   若直线$d$是截线，有
   $\angle 1=\angle 4,\angle 2+\angle 4=180^\circ.$
   综合起来有3个条件
   $\angle 5=\angle 3;\angle 1=\angle 4,\angle 2+\angle 4=180^\circ.$
   $~$
5. （本题10分）如图，$AD//BC,AD//EF,$
   $\angle CAD=50^\circ,\angle CFE=145^\circ.$
   求$\angle ACF.$
   
   解：$\because AD//BC,$
   $\therefore \angle BCA=\angle CAD=50^\circ（两直线平行，内错角相等）.\\ 又 \because AD//EF,\\ \therefore BC//EF（如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线平行）,\\ \therefore \angle BCF=180^\circ-\angle CFE=35^\circ（两直线平行，同旁内角互补）,\\ \therefore \angle ACF=\angle BCA- \angle BCF=15^\circ.$
   $~$
6. （本题10分）如图，$AD//BC,\angle 1=\angle 4.$
   求证：$\angle 2+\angle 3=180^\circ.$
   
   证明：$\because AD//BC,$
   $\therefore \angle 1=\angle EBC（两直线平行，内错角相等）.\\ \because \angle 1=\angle 4,\\ \therefore \angle 4=\angle EBC,\\ \therefore BE//DF（同位角相等，两直线平行）,\\ \therefore \angle 2+\angle 3=180^\circ（（两直线平行，同旁内角互补）.$
   $~$
7. （本题10分）如图，点$D$在$\Delta ABC$的边$BC$的延长线上，$CE//AB.$
   猜想$\angle A+\angle B+\angle ACB=?$证明你的猜想.
   
   解：（通过度量、计算）猜想$\angle A+\angle B+\angle ACB=180^\circ.$
   理由如下：
   $\because D在BC的延长线上,\\ \therefore \angle BCD=180^\circ.\\ \because CE//AB,\\ \therefore \angle ACE=\angle A（两直线平行，内错角相等）,\\ \angle DCE=\angle B（两直线平行，同位角相等）.\\ \therefore \angle A+\angle B+\angle ACB\\ =\angle ACB+\angle ACE+\angle DCE\\ =\angle BCD=180^\circ.$
   $~$
8. （本题15分）如图，$AB//CD,AD//BC,E$在$BC$的延长线上，
   连接$AE$交$CD$于$F,\angle AFD=\angle E.$
   求证：$AE$是$\angle BAD$的平分线.
   
   证明：$\because AB//CD,$
   $\therefore \angle BAE=\angle CFE（两直线平行，同位角相等）.\\ \because AD//BC,\\ \therefore \angle DAE=\angle E（两直线平行，内错角相等）.\\ \because \angle AFD=\angle E（对顶角相等）,\\ \therefore \angle DAE=\angle BAE,\\ \therefore AE是\angle BAD的平分线（角平分线的定义）.$
   $~$
9. （本题15分）如图，$AB\perp BC,DC\perp BC,P$在$BC$上，
   且$PA,PD$分别平分$\angle BAD,\angle CDA.$
   求证$PA\perp PD.$
   
   
   思路：易证$AB//CD,$，过$P$作$PQ//AB,$则$PQ//CD.$
   只要证明$\angle APQ+\angle DPQ=90^\circ.$
   证明：$\because AB\perp BC,DC\perp BC,$
   $\therefore \angle ABC=\angle DCB=90^\circ（垂直的定义）,\\ \therefore AB//CD（同旁内角互补，两直线平行）,\\ \therefore \angle BAD+\angle CDA=180^\circ\\ （两直线平行，同旁内角互补）.$
   过$P$作$PQ//AB.$
   $\because PQ//AB,\\ \therefore \angle APQ=\angle BAP（两直线平行，内错角相等）.\\ 又 AB//CD,\\ \therefore PQ//CD\\ （如果两条直线都平行于第三条直线，那么这两条直线互相平行）,\\ \therefore \angle DPQ=\angle CDP（两直线平行，内错角相等）.$
   $\because PA,PD分别平分\angle BAD,\angle CAD,\\ \therefore \angle BAP=\frac12 \angle BAD,\angle CDP=\frac12 \angle CDA\\ （角平分线的定义）,\\ \therefore \angle APD=\angle APQ+\angle DPQ\\ =\frac12 \angle BAD+\frac12 \angle CDA\\ =\frac12(\angle BAD+\angle CDA)=90^\circ,\\ \therefore PA\perp PD（垂直的定义）.$
   $~$
10. （附加题A+，本题20分）如图，$AB\perp BC,DC\perp BC,P$在$BC$上，
    且$PA$平分$\angle BAD,PA\perp PD.$
    求证$PD$平分$\angle CDA.$
    
    
    思路：易证$AB//CD,$，过$P$作$PQ//AB,$则$PQ//CD.$
    $PA\perp PD \to \angle APQ+\angle DPQ=90^\circ.$
    $\angle BAD+2\angle CDP=180^\circ,\\ 而\angle BAD+\angle CDA=180^\circ\\ \therefore \angle CDA=2\angle CDP.$
    证明：$\because AB\perp BC,DC\perp BC,$
    $\therefore \angle ABC=\angle DCB=90^\circ（垂直的定义）,\\ \therefore AB//CD（同旁内角互补，两直线平行）,\\ \therefore \angle BAD+\angle CDA=180^\circ~~~(1)\\ （两直线平行，同旁内角互补）.$
    过$P$作$PQ//AB.$
    $\because PQ//AB,\\ \therefore \angle APQ=\angle BAP（两直线平行，内错角相等）.\\ 又 AB//CD,\\ \therefore PQ//CD\\ （如果两条直线都平行于第三条直线，那么这两条直线互相平行）,\\ \therefore \angle DPQ=\angle CDP（两直线平行，内错角相等）.$
    $\because PA平分\angle BAD,\\ \therefore \angle BAD=2 \angle BAP\\ （角平分线的定义）.$
    $\because PA\perp PD,\\ \therefore \angle APD=\angle APQ+\angle DPQ=90^\circ\\ （垂直的定义）,\\ \therefore 2\angle APQ+2\angle DPQ=180^\circ,\\ 2\angle BAP+2\angle CDP=180^\circ,\\ \angle BAD+2\angle CDP=180^\circ~~~(2),\\ 由(1)(2)得~\angle CDA=2\angle CDP,\\ \therefore PD平分\angle CDA（角平分线的定义）.$
    $~$