七下课本P62第12题

及P57第6（3）（4）思考

课本

课本P57第6（3）（4）题

（3）$\sqrt{5}-3,\frac{\sqrt{5}-2}{2}$

想法一

从两数各自的符号考虑，
$\sqrt{5}-3<0,\frac{\sqrt{5}-2}{2}>0\\ \therefore \sqrt{5}-3<\frac{\sqrt{5}-2}{2}$

想法二

作差
$(\sqrt{5}-3)-\frac{\sqrt{5}-2}{2}\\ =\frac{2(\sqrt{5}-3)}{2}-\frac{\sqrt{5}-2}{2}\\ =\frac{2(\sqrt{5}-3)-(\sqrt{5}-2)}{2}\\ =\frac{\sqrt{5}-4}{2}<0,\\ \therefore \sqrt{5}-3<\frac{\sqrt{5}-2}{2}.$

（4）$\frac{\sqrt{2}}{2},\frac{\sqrt{3}}{3}$

不用计算器的考虑

想法一

两数都是分数形式，但分子、分母都不同，化为同分母的形式，
$\frac{\sqrt{2}}{2}=\frac{3\sqrt{2}}{6},\\ \frac{\sqrt{3}}{3}=\frac{2\sqrt{3}}{6}.$
只要比较$3\sqrt{2},2\sqrt{3}$的大小，
由算术平方根想到了平方
$(3\sqrt{2})^2\\ =3\sqrt{2}\times 3\sqrt{2}\\ =18,\\ (2\sqrt{3})^2\\ =2\sqrt{3}\times 2\sqrt{3}\\ =12.$
$\because 18>12,\\ \therefore 3\sqrt{2}>2\sqrt{3},\\ \therefore \frac{\sqrt{2}}{2}>\frac{\sqrt{3}}{3}.$

想法二

作差
$\frac{\sqrt{2}}{2}-\frac{\sqrt{3}}{3}\\ =\frac{3\sqrt{2}}{6}-\frac{2\sqrt{3}}{6}\\ =\frac{3\sqrt{2}-2\sqrt{3}}{6}$
只要判断$3\sqrt{2}-2\sqrt{3}$的符号即可.

课本P62第12题

分析：找到联系圆（正方形）的面积与周长的桥梁--半径（边长）。
设圆的半径为$r,$正方形的边长为$x.$
对于圆，
$\pi r^2=2\pi,r=\sqrt{2},\\ 2\pi r=2\sqrt{2}\pi\approx 8.89;$
对于正方形，
$x^2=2\pi,x=\sqrt{2\pi},\\ 4x=4\sqrt{2\pi}\approx 10.03.$
上述解法用到了计算器。
不用计算器，怎么做？
$(2\sqrt{2}\pi)^2\\ 2\sqrt{2}\pi\times 2\sqrt{2}\pi\\ =8\pi^2=8\pi\times \pi;\\ (4\sqrt{2\pi})^2\\ =4\sqrt{2\pi}\times 4\sqrt{2\pi}\\ =32\pi=8\pi \times 4.$
因为$\pi<4,$
所以$8\pi^2<32\pi,$
所以$2\sqrt{2}\pi<4\sqrt{2\pi}.$
即圆的周长小于正方形的周长.