难点答疑：整体思想

门道

整体思想就是把某个式子看成一个整体，可用一个字母代替这个式子，也称换元。

例1 若$a,b$互为相反数，求$3+a+b=$的值.

想：$a+b=0$，把$a+b$看成一个整体，即求$3+a+b=3+(a+b)$的值.
再想：需要知道$a,b$的值吗？
设$a+b=x$，则原题化为

已知$x=0$，求$3+x$的值.

例2 已知$x-2y=1$，求$(x-2y)^2-2(x-2y)+2$的值.

想：把$x-2y$看成一个整体.
再想：需要知道$x,y$的值吗？
设$x-2y=A$，则原题化为

已知$A=1$，求$A^2-2A+2的值.$

例3 已知$x+y=5,xy=4,$求$\frac{xy}2-2x-2y+1$的值.

想：把$x+y,xy$分别看成一个整体，
$\frac{xy}2-2x-2y+1$
$=\frac12xy-2(x+y)+1$【添括号，逆用分配律】
再想：需要知道$x,y$的值吗？
设$x+y=A,xy=B$，原题化为

已知$A=5,B=4,$求$\frac12B-2A+1$的值.

例4 已知$x^2-xy=-3,2xy-y^2=-8,$求$2x^2+4xy-3y^2$的值.

想：把$x^2-xy,2xy-y^2$各看成一个整体，
$2x^2+4xy-3y^2$
$=2x^2-2xy+6xy-3y^2$
$=2(x^2-xy)+3(2xy-y^2)$
再想：需要知道$x,y$的值吗？
设$x^2-xy=A,2xy-y^2=B$，原题化为

已知 $A=-3,B=-8$，求 $2A+3B$ 的值.

$\bigstar$实际解题时，可不引入新字母，但要会从整体角度思考，会逆用分配律！

例5 已知$x^2-2x-3=0$，求$2x^2-4x$的值.

想：已知可化为$x^2-2x=3$；
而所求式
$2x^2-4x\\=2(x^2-2x)\\=...$

例6 当$x=1$时，$ax^3+bx+7$的值是$4$；当$x=-1$时，$ax^3+bx+7$的值是多少？

想：已知就是$a+b+7=4$，即$a+b=-3$；
所求即$-a-b+7=-(a+b)+7$.

例7 已知$y=x-1$，求$(x-y)^2+(y-x)+1$的值.

想：已知可化为$x-y=1$，【被减数-差=减数】
所求式中有$x-y$与$y-x$，注意转化
$(x-y)^2+(y-x)+1\\=(x-y)^2-(x-y)+1\\=...$

例8 已知$2x^2-5x+4=5$，求下式的值.

$(15x^2-18x+4)\\-(-3x^2+19x-32)-8x.$

想：已知式化简
$2x^2-5x+4=5，2x^2-5x=1.$
所求式化简
$(15x^2-18x+4)\\-(-3x^2+19x-32)-8x\\=...\\=18x^2-45x+36\\=...$